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《圆》第3课时教案

日期:2022-06-18

这是《圆》第3课时教案,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。

  教学内容

  1.圆周角的概念.

  2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对的圆心角的一半.

  推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.

  教学目标

  1.了解圆周角的概念.

  2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

  3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

  4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

  设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.

  重难点、关键

  1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

  2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理.

  3.关键:探究圆周角的定理的存在.

  教学过程

  一、复习引入

  (学生活动)请同学们口答下面两个问题.

  1.什么叫圆心角?

  2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?

  老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

  (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.

  刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.

  二、探索新知

  问题:如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

  现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

  1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?

  2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?

  3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?

  (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.

  老师点评:www.1230.org 初中数学资源网

  1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

  2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.

  3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.

  下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

  (1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示

  ∵∠AOC是△ABO的外角

  ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

  ∵OA=OB

  ∴∠ABO=∠BAO

  ∴∠AOC=∠ABO

  ∴∠ABC= ∠AOC

  (2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC= ∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.

  老师点评:连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.

  (3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC= ∠AOC吗?请同学们独立完成证明.

  老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC

  现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.

  从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:

  在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

  进一步,我们还可以得到下面的推导:

  半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

  下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.

  例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?

  分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.

  解:BD=CD

  理由是:如图24-30,连接AD

  ∵AB是⊙O的直径

  ∴∠ADB=90°即AD⊥BC

  又∵AC=AB

  ∴BD=CD

  三、巩固练习

  1.教材P92 思考题.

  2.教材P93 练习.

  四、应用拓展

  例2.如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙O半径为R,求证: = = =2R.

  分析:要证明 = = =2R,只要证明 =2R, =2R, =2R,即sinA= ,sinB= ,sinC= ,因此,十分明显要在直角三角形中进行.

  证明:连接CO并延长交⊙O于D,连接DB

  ∵CD是直径

  ∴∠DBC=90°

  又∵∠A=∠D

  在Rt△DBC中,sinD= ,即2R=

  同理可证: =2R, =2R

  ∴ = = =2R

  五、归纳小结(学生归纳,老师点评)

  本节课应掌握:

  1.圆周角的概念;

  2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半;

  3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

  4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.

  六、布置作业

  1.教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13.

  2.选用课时作业设计.

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